階乗（factorial）は、数学や統計学で頻繁に登場する基本的な計算です。
記号としては n! と表され、1からその数 n までの整数を掛け合わせた結果を意味します。
たとえば、以下のように計算されます：
5!=5×4×3×2×1=120
階乗は、組み合わせの計算、確率分布、アルゴリズムの設計など、さまざまな場面で利用されます。
本記事では、Pythonを使って階乗を計算する多様な方法を解説します。
階乗は確率、統計を学んでいく上で様々な場面で出会いますね！
Pythonで計算する方法はたくさんあるんですか？
Pythonの基礎文法やアルゴリズムで実行する方法もあれば、ライブラリを使う方法もたくさんありますよ！
今回は考え方で分けつつ、合計15個の実行方法を教えますね！
2. 基本的な実装方法
再帰を使った実装
階乗は次のように再帰的に定義されます：
n!=n×(n−1)!
これをPythonで実装すると以下のようになります。
def factorial_recursive(n):
if n == 0 or n == 1: # ベースケース
return 1
return n * factorial_recursive(n - 1)この方法はシンプルですが、再帰が深くなるとスタックオーバーフローを起こす可能性があります。
ループを使った実装
再帰を使わず、ループを用いる方法もあります。
forループとwhileループの両方を使った例を示します。
forループ
def factorial_iterative(n):
result = 1
for i in range(1, n + 1):
result *= i
return resultwhileループ
def factorial_while(n):
result = 1
while n > 1:
result *= n
n -= 1
return resultこれらの方法は再帰を使わないため、スタックオーバーフローの心配がなく安定しています。
3. Python標準ライブラリを活用
math.factorialを使った実装
Pythonの標準ライブラリ math を使用すれば、簡単に階乗を計算できます。
import math
def factorial_math(n):
return math.factorial(n)最も簡単で効率的な方法の1つです。
functools.reduceを使った実装
functools.reduce を用いて、リストの要素を累積して掛け合わせることも可能です。
from functools import reduce
def factorial_reduce(n):
return reduce(lambda x, y: x * y, range(1, n + 1), 1)リスト内包表記とmath.prodを使った実装
Python 3.8以降では、math.prod を使用してリストやジェネレータの積を取ることができます。
from math import prod
def factorial_prod(n):
return prod([i for i in range(1, n + 1)])4. 効率化を図る手法
動的計画法による実装
動的計画法を利用すれば、以前に計算した結果を再利用して効率的に階乗を求められます。
def factorial_dynamic(n, memo={0: 1, 1: 1}):
if n not in memo:
memo[n] = n * factorial_dynamic(n - 1, memo)
return memo[n]メモ化を利用した実装
functools.lru_cache デコレータを使ってメモ化を自動化する方法もあります。
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def factorial_memoized(n):
if n == 0 or n == 1:
return 1
return n * factorial_memoized(n - 1)クロージャを活用した実装
クロージャを使ってメモ化する例です。
def factorial_closure():
memo = {0: 1, 1: 1}
def compute(n):
if n not in memo:
memo[n] = n * compute(n - 1)
return memo[n]
return compute
fact = factorial_closure()5. 高度な実装方法
ジェネレーターを使った階乗計算
ジェネレーターを使えば、途中経過を返すことができます。
def factorial_generator(n):
result = 1
for i in range(1, n + 1):
result *= i
yield result行列計算やベクトル化計算
NumPyを使ってベクトル化計算として階乗を求めることもできます。
import numpy as np
def factorial_numpy(n):
return np.prod(np.arange(1, n + 1))ライブラリを活用した高精度計算
SymPyによる実装
from sympy import factorial as sympy_factorial
def factorial_sympy(n):
return sympy_factorial(n)SciPyによる実装
from scipy.special import factorial as scipy_factorial
def factorial_scipy(n):
return scipy_factorial(n, exact=True)6. 特殊用途や応用的手法
文字列処理を利用した階乗の表現
数式を文字列として扱うことで、階乗の各要素を視覚的に表示できます。
def factorial_string(n):
return " * ".join(str(i) for i in range(1, n + 1))ビット操作で高速化
特殊なケースではビット操作を利用して計算を最適化することもできます。
def factorial_bits(n):
if n == 0 or n == 1:
return 1
return (n << (n - 1)) * factorial_bits(n - 2)7. 比較と用途別推奨
- 効率性重視: 標準ライブラリの
math.factorial - 大規模データ: NumPyやSciPyの利用
- 近似が許容される場合: スターリングの近似
- 高精度が必要な場合: SymPyやmpmath
8. まとめ
階乗はさまざまな方法で計算できますが、選択する手法は用途や要件に依存します。
本記事で紹介した方法を参考に、シチュエーションに合った最適な方法を選んでみてください。
階乗の計算はシンプルながらもプログラミングの奥深さを学ぶ絶好の題材です！
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